El cero no es un número (René Guénon)

Renè Guenon

EL CERO NO ES UN NÚMERO

Cap. XV de "Les principes du calcul infinitèsimal", Paris,

Gallimard, 1946.

* * *

    El decrecimiento indefinido de los números no puede desembocar en un "número nulo", del mismo modo que su indefinido crecimiento no puede llegar a un "número infinito", y ello por la misma razón, ya que uno de estos números debería ser el inverso del otro; en efecto, según lo que anteriormente dijimos respecto a los números inversos, que están igualmente alejados de la unidad en sus dos series, una creciente y otra menguante, y que tienen por punto de partida común a dicha unidad, dado que necesariamente debe haber el mismo número de términos en ambas series, los últimos términos, que serían el "número infinito" y el "número nulo", deberían, de existir, estar igualmente alejados de la unidad, luego ser recíprocamente inversos (1). En estas condiciones, si el signo ∞  no es en realidad más que el símbolo de las cantidades indefinidamente crecientes, el signo 0 debería lógicamente poder ser igualmente entendido como el símbolo de las cantidades indefinidamente menguantes, a fin de expresar en la notación la simetría que existe, como ya hemos dicho, entre unas y otras; pero, lamentablemente, el signo  posee ya otro significado, pues 0 sirve originalmente para designar la ausencia de toda cantidad, mientras que el signo ∞  no posee ningún sentido real que corresponda correlativamente a éste. Se trata de una nueva fuente de confusiones, como las que se producen a propósito de las "cantidades desvanecientes", y sería necesario, para evitarlas, crear para las cantidades indefinidamente menguantes otro símbolo diferente al cero, puesto que dichas cantidades se caracterizan por no poder jamás anularse en su variación; en todo caso, con la notación actualmente empleada por los matemáticos, parece casi imposible que no se produzcan tales confusiones.

    Si insistimos en la observación de que el cero, en tanto que representa la ausencia de toda cantidad, no es un número y no puede ser considerado como tal, aunque ello pueda en suma parecer bastante evidente a quienes jamás han tenido ocasión de conocer ciertas discusiones, es porque, desde el momento en que se admite la existencia de un "número nulo", que debe ser el "menor de los números", forzosamente se está obligado a suponer correlativamente, como su inverso, un "número infinito", en el sentido del "mayor de los números". De modo que si se acepta el postulado de que el cero no es un número, el argumento en favor del "número infinito" puede ser en consecuencia perfectamente lógico (2); pero es precisamente este postulado lo que debe ser rechazado, pues, si las consecuencias que de él se deducen son contradictorias, y hemos visto que la existencia del "número infinito" efectivamente lo es, es porque, en sí mismo, implica una contradicción. Efectivamente, la negación de la cantidad no puede en modo alguno ser asimilada a una cantidad; la negación del número o de la magnitud no puede en ningún sentido ni en grado alguno constituir una especie de número o de magnitud; pretender lo contrario implica el sostenimiento de que algo puede ser, según la expresión de Leibnitz, "equivalente a una especie de su contradictorio", y tanto valdría decir a continuación que la negación de la lógica es la propia lógica.

    Es entonces contradictorio hablar del cero como de un número, o suponer un "cero de magnitud" que sería así mismo una magnitud, de donde forzosamente resultaría la consideración de otros tantos ceros distintos como diferentes especies de magnitudes haya; en realidad, no puede existir sino el cero puro y simple, que no es más que la negación de la cantidad, bajo cualquier forma que, por lo demás, se le considere (3). Puesto que tal es el verdadero sentido del cero aritmético entendido "rigurosamente", es evidente que este sentido no tiene nada en común con la noción de las cantidades indefinidamente menguantes, que son siempre cantidades, y no una ausencia de cantidad, y tampoco se trata de algo que sea en cierta manera mediador entre el cero y la cantidad, lo que también sería una concepción perfectamente ininteligible, y que, en su orden, recordaría bastante por lo demás a la idea de la "virtualidad" de Leibnitz, de la cual ya hemos dicho anteriormente algunas palabras.

    Podemos ahora volver al otro significado que posee el cero en la notación habitual, a fin de ver cómo han podido tener lugar las confusiones de las que hemos hablado: ya hemos dicho que un número puede ser considerado en cierto modo como prácticamente indefinido desde el momento en que ya no nos es posible expresarlo o representarlo distintamente de una manera cualquiera; un tal número, sea cual sea, solamente podrá, en el orden creciente, ser simbolizado por el signo ∞ , en tanto que éste representa lo indefinidamente grande; no se trata entonces aquí de un número determinado, sino más bien de todo un dominio, lo que por lo demás es necesario para que sea posible considerar, en lo indefinido, desigualdades e incluso órdenes diferentes de magnitudes. Haría falta, en la notación matemática, otro símbolo que representase el dominio que corresponde a éste en el orden menguante, es decir, lo que puede ser designado como el dominio de lo indefinidamente pequeño; pero, como un número perteneciente a este dominio es, de hecho, prescindible en los cálculos, se ha adquirido la costumbre de considerarlo como prácticamente nulo, aunque ésta no sea sino una simple aproximación resultante de la inevitable imperfección de nuestros medios de expresión y de medida, y sin duda es por tal razón que se ha llegado a simbolizar con el mismo signo 0, que en realidad representa la ausencia rigurosa de toda cantidad. Es sólo en este sentido que el signo 0 se toma en cierta manera como simétrico del signo ∞, y que pueden ser situados respectivamente en los dos extremos de la serie de los números, tal como anteriormente lo hemos considerado extendiéndose indefinidamente, por los números enteros y por sus inversos, en los dos sentidos creciente y menguante.

Esta serie se presenta entonces bajo la forma siguiente: 0... ...1/4, 1/3, 1/2, 1, 2, 3, 4... ...∞; pero es preciso advertir que 0 y ∞ representan, no dos números determinados, que finalizarían la serie en los dos sentidos, sino dos dominios indefinidos, en los que por el contrario no podrían haber últimos términos, en razón de su propia indefinidad; es entonces evidente que el cero no podría ser aquí ni un "número nulo", que constituiría el último término en la serie menguante, ni una negación o una ausencia de toda cantidad, que no puede tener ningún lugar en esta serie de cantidades numéricas.

    En esta misma serie, como hemos explicado anteriormente, dos números equidistantes de la unidad central son inversos o complementarios uno de otro, es decir, que reproducen la unidad por su multiplicación: 1/n X= 1, de forma que, para las dos extremidades de la serie, debería escribirse también 0 X ∞ =1; pero, debido a que los signos 0 y ∞ , que son los dos factores de este último producto, no representan números determinados, la propia expresión 0 X ∞  constituye un símbolo de indeterminación, o lo que se denomina una "forma indeterminada", y debe entonces escribirse 0 X ∞= n, siendo n un número cualquiera (4); no es menos cierto que, de todas formas, se llega así a un finito ordinario, ya que las dos indefinidades opuestas se neutralizan, por así decir, una a otra. Se ve entonces muy claramente, una vez más, que el símbolo ∞ no representa al Infinito, pues éste, en su verdadero sentido, no puede tener ni opuesto ni complementario, y no puede entrar en correlación con nada, ni con el cero, en cualquier sentido que se lo considere, ni con la unidad, ni con un número cualquiera, ni por lo demás con nada particular, sea del orden que sea, cuantitativo o no; siendo el Todo universal y absoluto, contiene tanto al No-Ser como al Ser, de modo que el cero, desde el instante en que es considerado como una pura nada, debe necesariamente entenderse también como comprendido en el Infinito.

    Al hacer aquí alusión al No-Ser, tocamos otro significado del cero, muy diferente de los que acabamos de considerar, y que es por lo demás el más importante desde el punto de vista de su simbolismo metafísico; pero, a este respecto, es necesario, para evitar toda confusión entre el símbolo y lo que éste representa, precisar bien que el Cero metafísico, que es el No-Ser, no es un cero cuantitativo, así como la Unidad metafísica, que es el Ser, tampoco es la unidad aritmética; lo que así es designado por tales términos no puede significarlo más que por una transposición analógica, ya que, al situarse en lo Universal, se está evidentemente más allá de todo dominio especial, como el de la cantidad. No es por otra parte en tanto que representa a lo indefinidamente pequeño que el cero puede, mediante una tal transposición, ser tomado como símbolo del No-Ser, sino en tanto que, según su acepción matemática más rigurosa, representa la ausencia de cantidad, lo que en efecto simboliza en su orden la posibilidad de no manifestación, al igual que la unidad simboliza la posibilidad de manifestación, siendo el punto de partida de la multiplicidad indefinida de los números, del mismo modo que el Ser es el principio de toda manifestación (5).

    Esto nos lleva aún a señalar que, de cualquier manera que se considere el cero, en ningún caso podría ser tomado por una pura nada, lo que metafísicamente no corresponde sino a la imposibilidad, y ésta, por otra parte, no puede lógicamente ser representada por nada. Ello es demasiado evidente cuando se trata de lo indefinidamente pequeño; es verdad que éste no constituye, si se quiere, más que un sentido derivado, debido, como acabamos de decir, a una especie de asimilación aproximativa de una cantidad despreciable para nosotros a la ausencia misma de cantidad; pero, en lo que concierne a la ausencia de cantidad, lo que es nulo bajo este aspecto bien puede no serlo bajo otros aspectos, como claramente se ve mediante un ejemplo como el del punto, que, siendo indivisible, es por ello mismo inextenso, es decir, espacialmente nulo (6), aunque no por ello deja de ser, tal como en otro lugar hemos expuesto, el principio mismo de toda la extensión (7). Es por lo demás verdaderamente extraño que los matemáticos tengan generalmente la costumbre de considerar al cero como una pura nada, y que no obstante les sea imposible no considerarlo al mismo tiempo como dotado de una potencia indefinida, ya que, situado a la derecha de otra cifra "significativa", contribuye a formar la representación de un número que, mediante la repetición de este mismo cero, puede crecer indefinidamente, como ocurre, por ejemplo, en el caso del número diez y de sus sucesivas potencias. Si realmente el cero no fuese sino una pura nada, esto no podría tener lugar, y además, a decir verdad, no sería entonces más que un signo inútil, enteramente desprovisto de todo valor efectivo; hay entonces, en las concepciones matemáticas modernas, una inconsecuencia más a añadir a todas aquellas que ya hemos tenido ocasión de señalar hasta el momento.

NOTAS

1. Esto estaría representado, según la notación ordinaria, por la fórmula 0 X ∞ = 1; pero, de hecho, la forma 0 X ∞ es, al igual que 0 / 0, una "forma indeterminada", y puede escribirse 0 x ∞ = n, designando n un número cualquiera, lo que por lo demás demuestra que, en realidad, 0 y ∞ no pueden ser considerados como representando números determinados; volveremos posteriormente sobre este punto. Es de señalar, por lo demás, que 0 X ∞ corresponde, con respecto a los "límites de las sumas" del cálculo integral, lo que 0 / 0 es con respecto a los "límites de las relaciones" del cálculo diferencial.

2. De hecho, es sobre este postulado que se basa en gran parte el argumento de L. Couturat en su tesis De l'infini mathématique.

3. También resulta de ello que el cero no puede ser considerado como un límite en el sentido matemático de la palabra, pues un verdadero límite es siempre, por definición, una cantidad; es por lo demás evidente que una cantidad que mengua indefinidamente no tiene más límite que una cantidad que crezca indefinidamente, o que al menos ambas no pueden tener otros límites que los que necesariamente resultan de la naturaleza misma de la cantidad como tal, lo que es una acepción bastante diferente de la misma palabra "límite", aunque exista entre ambas una cierta relación que más tarde indicaremos; matemáticamente, no puede hablarse más que del límite de la relación de dos cantidades indefinidamente crecientes o de dos cantidades indefinidamente menguantes, y no del límite de tales cantidades en sí mismas.

4. Ver la nota anterior.

5. Sobre este tema, ver Les ètats multiples de l'être, cap. III.

6. Es por ello que, como ya dijimos, el punto no puede en modo alguno ser considerado como constituyendo un elemento o una parte de la extensión.

7. Ver Le Symbolisme de la Croix, cap. XVI.